29.1. Introducción |
El programa usa de forma extensiva el método de ajuste por mínimos cuadrados en gran parte de sus herramientas de cálculo, concretamente para las compensaciones de poligonales y redes, intersecciones directa e inversa, nivelación trigonométrica y transformaciones de coordenadas. Describimos a continuación los principios elementales de este método de cálculo.
En la realización de un levantamiento topográfico, normalmente se toman más lecturas que las necesarias, con objeto de reducir la posibilidad de errores y mejorar la precisión del resultado. Esto origina un modelo geométrico que está sobredeterminado, o dicho de otra forma, un sistema con más ecuaciones que incógnitas. Los valores más probables para las coordenadas de las estaciones pueden ser calculadas mediante el ajuste simultáneo de las observaciones de forma que la suma de los cuadrados de sus residuos sea mínima, de ahí el término “mínimos cuadrados”.
El programa implementa el cálculo por mínimos cuadrados usando el método de las ecuaciones de observación, de forma que cada observación genera una o varias ecuaciones, que son ajustadas de forma simultánea. Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación matricial:
X = (AT P A) –1 AT P L
donde X es un vector que contiene la diferencia entre las coordenadas actuales de cada base y las coordenadas resultantes, A es la matriz de coeficientes que se crea a partir de los datos de las observaciones y coordenadas de las estaciones que intervienen en ellas, P es una matriz diagonal de pesos de las ecuaciones, y L es un vector que contiene los residuos entre los valores observados y calculados para cada observación (términos independientes).
El programa calcula por medio de un proceso iterativo la matriz X hasta que sus valores sean inferiores al umbral de convergencia especificado en la configuración del cálculo por mínimos cuadrados, o bien hasta que se supere el máximo de iteraciones. Normalmente, si el sistema está bien condicionado, debería converger en la segunda o tercera iteración. En caso contrario el programa presentará un mensaje de error, debiendo el usuario aumentar el número de iteraciones, disminuir la convergencia o bien comprobar las observaciones. Ver la Configuración de Topografía para más detalles.
Si se ha solicitado el cálculo en tres dimensiones, el programa realiza separadamente un ajuste planimétrico para hallar las coordenadas definitivas X,Y y a continuación ejecuta el ajuste altimétrico para calcular la coordenada Z.
La ecuación matricial que calcula los residuos después del ajuste es:
donde:
V = Vector de residuos
A = Matriz de coeficientes
X = Vector de diferencias entre coordenadas origen y destino
L = Vector de términos independientes
Por otra parte, la desviación estándar indicada en cada cálculo se obtiene por la siguiente fórmula:
donde:
S0 = Desviación estándar
P = Matriz de pesos
r = Grados de libertad del sistema
Los grados de libertad se calculan restando el número de ecuaciones de observación (m) menos el número de incógnitas (n):
r = m – n
La desviación estándar de cada uno de los valores ajustados se obtiene por la fórmula:
donde:
Sxi = Desviación estándar del valor i ajustado
S0 = Desviación estándar global del ajuste
Qxixi = Elemento diagonal de la fila i, columna i de la matriz de covarianza
La matriz de covarianza se calcula con la ecuación:
donde:
Q = Matriz de covarianza
A = Matriz de coeficientes
P = Matriz de pesos
Wolf, P.R. & Ghilani, C.D. (1996). Adjustment computations: statistic and least squares in surveying and GIS.
Brinker, R. C. & Minnick, R. (1995). The Surveying Handbook.
|
|